[Algorithm] 위상 정렬 (Topology Sort)

위상 정렬이란?

 위상 정렬은 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘이다. 즉, 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것'이다.

 

 위상 정렬의 예시로는 '선수과목을 고려한 학습 순서 결정'이 있다. 어떤 학부의 커리큘럼 상 'A' 과목을 들어야 'B' 과목을 들을 수 있고 'B' 과목을 들어야 'C' 과목을 들을 수 있다고 가정해보자. 이 경우, 'A' -> 'B' -> 'C'와 같이 표현할 수 있다. 즉, 'C' 과목을 수강하기 위해서는 'A' 과목을 먼저 수강하고 다음으로 'B' 과목을 수강해야 하는 것이다. 

 

 위상 정렬을 하기 위한 조건은 다음과 같다.

1. 간선이 방향성을 가진 그래프여야 한다.
2. 그래프 내부에 순환(Cycle)이 없어야 한다.

 

위상 정렬 프로세스

 위상 정렬은 다음과 같은 순서로 진행된다.

1. 진입 차수가 0인 정점을 큐에 삽입한다.
2. 큐에서 원소를 꺼내 해당 원소에 연결된 간선을 제거한다.
3. 간선을 제거한 후 진입 차수가 0이 된 정점을 큐에 삽입한다.
4. 2~3을 큐가 빌 때까지 반복한다.

 만약 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 비어버리면 이는 사이클이 발생한 것이다. 사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문이다. 기본적으로 위상 정렬 문제에서는 사이클이 없다고 가정하기 때문에 이 같은 경우는 크게 고려하지 않아도 된다. 

 

위상 정렬 예제

 

 먼저 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다. 아래 그림에서 노드 1의 진입차수만 0이기 때문에 큐에 노드 1만 삽입한다.

 

 큐에 들어 있는 노드 1을 꺼낸다. 노드 1과 연결되어 있는 간선들을 제거하고 연결된 노드들의 진입차수를 1 감소시킨다. 이제 노드 2와 노드 3의 진입차수가 0이 되고 노드 2와 노드 5를 큐에 삽입한다.

 

 

 다음으로 노드 2를 꺼내고 연결되어 있는 간선들을 제거한다. 노드 4의 진입차수가 1이 된다.

 

 다음으로 노드3을 꺼내어 연결되어 있는 간선들을 제거한다. 노드 4의 진입차수가 0이 되고 새롭게 큐에 들어간다.

 

 

 마지막으로 노드 4를 큐에서 꺼내고 나면 위상 정렬을 만드는 과정이 종료된다. 노드를 제거하는 과정을 수행하는 동안 큐에서 빠져나간 노드를 순서대로 출력하면, 그것이 위상 정렬을 수행한 결과가 된다. 

 

구현 코드 (Python)

from collections import deque 

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for _ in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입차수를 1 증가
    indegree[b] += 1 

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
    
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

 

 

 

References

- https://velog.io/@younge/Python-%EA%B7%B8%EB%9E%98%ED%94%84-%EC%9C%84%EC%83%81-%EC%A0%95%EB%A0%AC-%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98

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